边边边定理证明

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边边边定理

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边边边定理,简称SSS,是平面几何中的重要定理之一。边边边定理的内容是:有三边对应相等的两个三角形全等。它用于证明两个三角形全等。该定理最早由欧几里得证明。
此外,全等三角形判定定理还有 “边角边”(SAS)、 “角边角”(ASA)、“角角边”(AAS)等。
中文名
边边边定理
外文名
Theorem of edges and edges
作    用
证明两个三角形全等
解    释
有三边对应相等的两个三角形全等
简    称
SSS
证明者
欧几里德

定义

边边边定理,简称SSS,是平面几何中的重要定理之一。边边边定理的内容是:有三边对应相等的两个三角形全等。它用于证明两个三角形全等。该定理最早由欧几里得证明。
《义务教育数学课程标准》(2011 版)将判定三角形全等中的“边边边”列为基本事实,即作为证明推理的出发点,并不要求证明。同时,为了帮助学生发现并理解这条基本事实的合理性,现行教材大都沿袭传统做法,即通过尺规作图,根据已知三边的长度作出一个三角形,再将作出的三角形与原三角形放在一起,看是否重合来得到“边边边”的合理性。以上做法是实验几何的方法,并没有证明“边边边”的成立。

证明方法

编辑

欧几里得的《几何原本》,其中命题 8 证明了三边分别相等的两个三角形,则夹在等边中间的角也相等。书中采用的是反证法,并且借助书中另外一条定理(即命题 7)来完成证明。有了这条定理做保证,就可以继续借助“边角边”完成“边边边”的证明。

方法1

设:在三角形ABC和三角形DEF中,AB等于DE,AC等于DF,即AB是

DE的对应边,AC是DF的对应边。BC等于EF。

那么说:三角形ABC全等于三角形DEF。
将点B替换成点E,线段BC替线段EF,因为BC等于EF,所以点C与点F重合,那么BA、AC分别于ED、DF重合。
如果底边BC与底边EF重合,而BA、AC两边与ED、DF两边不重合,形成了新的两边与EG、FG重合,那么从一条线段的两个末端引出的两条线段相交于一点,同一条线段的两个末端引出的另外两条线段交与另一点,两组对应边不能相等。所以:假设不能成立。
所以三角形ABC和三角形DEF可以重合,所以三角形ABC和三角形DEF全等。

方法2

一般证明“边边边”常采用以下方法

图1图1

在△ABC和△A’B’C’中,已知AB=A’B’,AC=A’C’,BC=B’C’。求证:△ABC ≌ △ A’B’C’。
证明:将△ABC通过平移、旋转和轴反射,使BC的像与B’C’重合(并使A的像与A’在BC的两旁),连接AA’,得到图1。
因为AB=A’B’,AC=A’C’,
在△ABC和△A‘B’C’中,AB=A‘B’,角BAC=角B’A’C’,AC=A’C’,所以△ABC ≌ △ A’B’C’ ( SAS )。
由此得到以下基本事实:三边对应相等的两个三角形全等。注意到上述证明过程中,借助了“等腰三角形等边对等角”这一定理,尽管课标对“边边边”不作证明要求,但从几何定理的编排顺序以及数学教材的严谨性来讲,在呈现“边边边”这一基本事实之前,最好先证明等腰三角形的相关性质,再介绍“边边边”,那么一切将顺理成章。

定理的证明

借助“边角边”证明“等边对等角”:
(1)欧几里得的《几何原本》的命题 5 也是证明等腰三角形“等边对等角”。已知AB=AC,延长AB到D,延长AC到E,使AD=AE。由《几何原本》命题 4 的“边角边”,可证明△ADC≌△AEB,从而BE=CD,角BDC=角BEC,又BD=CE,再用“边角边”可证得△DBC≌△ECB,进 而得 到角DBC=角ECB,于是角ABC=角ACB。
这个证明过程要用到两次全等证明,这对于初学者来说很难。因此该定理戏称为“笨蛋的难关(Asses’ Bridge)”,照原文直译即“驴桥”,意思是学完该定理的证明,学习者就基本掌握证明的方法了。
(2)还有一种证明方法是证明“自己与自己全等”。如图 2,

图2图2

已知△ABC,AB=AC。因为AB=AC,角A=角A,AC=AB,所以△ABC≌△ACB,所以角B=角C。这种证明方法巧妙,但一般的人很难接受这种证明方式。

以上这些证明方式都是利用“边角边”完成证明,也就是说教材可以先讲“边角边”,再证明等腰三角形的相关性质,接着就可以推出“边边边”了。考虑到等腰三角形的知识点比较多(含性质和判定),从教材编写的角度考虑,单独将“等腰三角形”做一小节是合适的 [1]
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