弧度是怎么来的?为何要用弧度?起源是什么

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弧度是怎么来的?为何要用弧度?起源是什么?

角度

谈弧度,就必须先谈下角度,如果世界上只有弧度,没有角度,我相信大家也就不会疑惑为什么会有弧度制了。

角度为什么出现?

角度的出现,是源于对圆周运动的观察

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这个世界上最大最显眼的圆周运动就是太阳,就算我们现代人知道地心说是错误的,可是以我们的尺度来说,抬头还是观察到太阳在做圆周运动。

作为观察者,我们也非常自然的,以我们为中心,开始计算太阳相对我们的移动,这就开始出现了角度。

圆周为什么是360°?

地球围绕太阳公转,而遥远的十二星座仿佛固定在圆柱形天幕上:

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地球上的我们就像看走马灯一样,随着地球的公转,在特定的时间看到特定的星座。古人发现了这个规律,并且以星座为参照物,近似观察出循环周期为360天,也就是一年。

因此,天就被等分成了360份,也就是圆被等分成了360份。虽然后来古人慢慢发现了一年实际上是365天,但是因为360度已经成为习惯,并且非常好计算,所以就被保留了下来。

度数是圆周的占比

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弧度

角度似乎已经足够描述圆周运动了,为什么要出现弧度?是来给世界添乱的吗?

弧度为什么出现?

弧度的出现,刚开始不过是个数学游戏。弧度=弧长/半径,对于相同的角度这个比值保持不变,所以可以看作角度的另一种表现形式。(其实“弦长/半径”也是定值,为啥不选这个作为弧度呢?可以想想。)

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弧度有什么现实意义?

弧度是从圆周运动进行者的角度来看待圆周运动。

之前说过,古人的世界观是天圆地方,人们的旅行都被视为直线运动。欧式几何里面的直线笔直的延伸到无穷远处。

可是,事实是,地球是圆的,随着技术的发展,大航海时代的来临,大家越来越认识到这一点。传统意义上的直线,在地球表面都不复存在,必须重新定义直线的含义。

弧度也是在这样的环境下开始发扬光大:

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知道了移动的角度,也就知道了经纬度,就可以通过地图进行导航,而利用弧度,大大简化了这一过程。

“海里”这个航海单位也是弧度在大航海时代的产物。

“海里”传统上定义为子午线1角分的长度。它可从航海图中,以子午线上的纬度的改变来量度。—-维基百科

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弧度可以把圆周运动转为直线运动

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这种转换有了之后,就可以很方便的测量汽车的直线速度了。汽车在车胎附近安装一个传感器,测出车胎的转速(比如10弧度/秒),乘以半径(比如1米),就得到了汽车的直线速度(这里就是10米/秒)。有的出租车换了更小直径的轮胎而不修改行车电脑里面的轮胎半径,就可以轻松的“偷里程”。所以,学习多么的重要啊!

弧度帮助理解重要极限

[公式] ,这是个很重要的极限,考试也会经常用到,但是他的几何意义是什么呢?

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在现代数学中,弧度是最基本的概念

弧度使得角度和实数统一在了一起。对于 [公式] 这个函数而言,如果 [公式] 使用角度,就很难去理解这个方程,一边的单位是度,一边是无单位的实数。而使用弧度可以很好的解决这一问题,使得 [公式] 和 [公式] 都是无单位的数。

弧度开启了三角函数的大门。欧拉在他的著作《无穷小分析概论》就提出了弧度,并且作出了三角函数线(这也是非常有趣的概念,在这里就不展开了),通过弧度和三角函数线,第一次定义了三角函数!这也是欧拉在数学上的重大贡献之一。此时,三角分析才开始和函数这个有力的工具挂上钩。

结论

  • 角度是对圆周运动的观察,弧度是对圆周运动的进行
  • 角度是有单位的,弧度是无单位的,所有三角函数都应使用弧度

个人觉得,在现代教育中,弧度制应该尽早的引入,而去弱化角度制,让学生尽早形成对弧度制的直觉认知。就好比加减乘除虽然重要,但是在微积分才是现代数学的基础。

来源: https://www.zhihu.com/question/40759023

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弧度制的历史简介

一、弧度制的发明——托勒密
克劳迪亚斯托勒密大约于公元90年出生在希腊。托勒密同斯特雷波一道为地理学和绘制学的研究奠定了基础。托勒密在天文学、光学和音乐方面也颇有造诣。真正创立了天文学,并且计算出诸多天体运行轨迹的是两千年前古罗马时代的托勒密。虽然今天我们可能会嘲笑托勒密犯的简单的错误,但是真正了解托勒密贡献的人都会对他肃然起敬。托勒密发明了球坐标,定义了包括赤道和零度经线在内的经纬线,他提出了黄道,还发明了弧度制。 
当然,他最大也是最有争议的发明是地心说。虽然我们知道地球是围绕太阳运动的,但是在当时,从人们的观测出发,很容易得到地球是宇宙中心的结论。从地球上看,行星的运动轨迹是不规则的,托勒密的伟大之处是用四十个小圆套大圆的方法,精确地计算出了所有行星运动的轨迹。(托勒密继承了毕达格拉斯的一些思想,他也认为圆是最完美的几何图形。)托勒密模型的精度之高,让以后所有的科学家惊叹不已。即使今天,我们在计算机的帮助下,也很难解出四十个套在一起的圆的方程。每每想到这里,我都由衷地佩服托勒密。一千五百年来,人们根据他的计算决定农时。但是,经过了一千五百年,托勒密对太阳运动的累积误差,还是差出了一星期。

二、弧度制思想的提出——欧拉

18世纪以前,人们一直是用线段的长来定义三角函数的.瑞士数学家欧拉(Leonhardo Eulero,1707年~1783年)在他于1748年出版的一部划时代的著作《无穷小分析概论》中,提出三角函数是对应的三角函数线与圆半径的比值,并令圆的半径为1,使得对三角函数的研究大为简化.这是欧拉在数学史上的重要功绩之一.

其次,欧拉在上述著作的第八章中提出了弧度制的思想.他认为,如果把半径作为1个单位长度,那么半圆的长就是π,所对圆心角的正弦是0,即sin =0.同理,圆的 的长是 ,所对圆心角的正弦是1,可记作sin =1.这一思想将线段与弧的度量单位统一起来,大大简化了某些三角公式及计算.

三、弧度制的正式提出——汤姆生

1873年6月5日,数学教师汤姆生(James Thomson)在北爱尔兰首府贝尔法斯特(Belfast)女王学院的数学考试题目中创造性地首先使用了“弧度”一词.当时,他将“半径”(radius)的前四个字母与“角”(angle)的前两个字母合在一起,构成radian,并被人们广泛接受和引用.我国学者曾把radian译成“弪’(由“弧”与“径”两字的一部分拼成).中华人民共和国成立以来,中学数学教科书中都把radian译作“弧度”.

1881年,学者哈尔斯特(G.B.Halsted)等用希腊字母ρ表示弧度的单位,例如用 表示 弧度.1907年,学者包尔(G.N.Bauer)用r表示;1909年,学者霍尔(A.G.Hall)等又用R来表示,例如将 弧度写成 .现在人们习惯把弧度的单位省略.

弧度制的定义

等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用弧度作单位来度量角的制度叫做弧度制。

以已知角a的顶点为圆心,以任意值R为半径作圆弧,则a角所对的弧长与R之比是一个定值﹝与R无关﹞,我们称=R时的正角为1弧度的角。以1弧度角为量角大小的单位,称此度量制为弧度制,以示与角的另一种度量制──角度制区别。

弧度制的基本思想

弧度制的基本思想是使圆半径与圆周长有同一度量单位,然后用对应的弧长与圆半径之比来度量角度,这一思想的雏型起源于印度。印度著名数学家阿利耶毗陀﹝476?-550?﹞定圆周长为21600分,相度地定圆半径为3438分﹝即取圆周率π3.142﹞,但阿利耶毗陀没有明确提出弧度制这个概念。严格的弧度概念是由瑞士数学欧拉﹝1707-1783﹞于1748年引入。欧拉与阿利耶毗陀不同,先定半径为1个单位,那么半圆的弧长为π,此时的正弦值为0,就记为sinπ= 0,同理,1/4圆周的长为π/2,此时的正弦为1,记为sin(π/2)=1。从而确立了用π、π/2分别表示半圆及1/4圆弧所对的中心角。其它的角也可依此类推。

弧度制的精髓

弧度制的精髓就在于统一了度量弧与半径的单位,从而大大简化了有关公式及运算,尤其在高等数学中,其优点就格外明显。

1弧度的大小

一弧度的角:等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

1弧度约等于57.3°

大约是57°17′45″

但准确的是等于180°/π

180°=πrad

利用弧度制证明扇形面积公式S=1/2LR.其中L是扇形的弧长,R是圆的半径

弧度制与角度制的换算公式

1 rad =180/π °

1°=π/180 rad

来源:http://blog.sina.com.cn/s/blog_6d5ee68e0100m9re.html



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