最全三角函数公式推导

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零、写在前面

这只是闲着没事随便写着玩的,大家随便看看就行。

一、基本定义

设角[公式]的终边与单位圆交于点[公式],则有

[公式],[公式]

[公式],[公式]

[公式],[公式]

二、同角三角函数基本关系

由上边的式子可以直接得出以下三个关系式(倒数关系):

[公式]
[公式]
[公式]
还可以得出如下商的关系:

[公式][公式]
结合勾股定理,我们还可以得到下述平方关系:

[公式]
这些关系式很简单,就不推导了。

三、特殊值

1

当这篇文章读完之后,你一定可以推导出上表中任何一个值。

四、诱导公式

我不推荐大家记这个表

而是希望大家先熟悉一下最基本的三个三角函数(sin、cos和tan)的性质,然后再讨论遇到类似问题如何最快速地推导。

  • 正弦函数是奇函数,最小正周期为[公式],其导函数为余弦函数;
  • 余弦函数是偶函数,最小正周期为[公式],其导函数为正弦函数的相反数;
  • 正切函数是奇函数,最小正周期为[公式].

诱导公式的目的是什么呢?就是将[公式][公式]的整数倍去掉,仅保留[公式].因此我们可以按照上述性质一步步地化简:

  1. 按照其奇偶性,将[公式]变为负值;
  2. 根据正弦/余弦函数的周期性,将[公式]的整数倍全部去掉。若此时被加数为负,则再加上[公式]
  3. 若被加的数绝对值仍不小于[公式],就将其绝对值直接减去[公式],然后取负号;
  4. 利用公式[公式][公式]得出结果。

举个例子:[公式]

原式=[公式]/*将[公式]变为负值*/

=[公式]/*利用周期性加上9个[公式]*/

=[公式]/*再加上一个[公式]*/

=[公式]/*减去[公式]并加负号*/

=[公式]

可以看出,按照这个步骤,完全不需要记忆那么多公式,甚至连「奇变偶不变,负号看象限」都不需要,只要按部就班地做就可以得到正确答案。

而正切函数更简单,因为其最小正周期是[公式],因此最后只有加不加[公式]的问题。

五、基本公式

下面看一个最基本的公式,这个公式很自然,但是确实下边各个公式推导的基础。

平面上两个单位向量,与x轴正向夹角分别为x和y,则这两个向量分别为[公式],[公式]。则这两个向量的点积为[公式],而点积又可以表示为[公式],于是我们得到了以下公式:

[公式](1)

这就是最基本的公式。从向量的角度,这个公式也是很自然的。

六、和差角公式

将(1)中的[公式][公式]代入,即可得到[公式](2)

将(1)中的[公式][公式]代,再利用诱导公式,可以得到正弦函数的和差角公式:

[公式](3)

(3)式的[公式]代成[公式],有

[公式](4)

(3)/(2),(4)/(1),得到正切函数的和差角公式:

[公式](5)

[公式](6)

七、倍角公式和半角公式

有了「六」中的式子,令[公式],很容易得到倍角公式和半角公式:

[公式](7)

[公式](8)

[公式](9)

注意到(8)式,由平方关系又可以写成[公式][公式].所以我们就有半角公式(也叫降幂公式):

[公式](10)

[公式](11)

两式相除,得

[公式](12)

八、积化和差和和差化积公式

回头看看(3)式和(4)式,两式相加得到

[公式](13)

而相减则得

[公式](14)

(1)+(2)、(1)-(2)同样可以得到两个积化和差的公式:

[公式](15)

[公式](16)

然后在上式中,令[公式].此时[公式],立刻就得到了四个和差化积公式:

[公式](17)

[公式](18)

[公式](19)

[公式](20)

九、万能公式

万能公式是将[公式][公式]均用[公式]表示。由于后者的值域为整个实数区间,因此方便考察许多性质。

首先我们知道,[公式]的万能公式就是其二倍角公式(9)式。我们试着推导一下余弦函数的万能公式。

[公式]
[公式](21)

正弦的就简单了,两个一乘就行:

[公式](22)

十、写在最后

这篇文章实在是没什么技术含量,然而仓促之间我也写不出什么更好的东西了,大家凑合着看吧。

来源: https://zhuanlan.zhihu.com/p/20102140

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来个土方法吧,亲测洗脑,高中老师讲了一次至今没忘过。。。

和差化积公式

如果把sin想象成笑(smile),cos想象成哭(cry),那么口诀就有了:

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前阵子出过一道 ( ),有一些网友踊跃提供了自己的思路。在公布我的做法之前,我想先讲讲其中需要利用到的一个有关三角函数的公式以及其证明,大家可以先了解一下三角函数的定义:

先来看看两角和差的三角函数公式的内容吧,真是又对称又神奇吧:

证明方法并不唯一,在这里提供一种我认为比较容易理解的方法。如下图所示,从 A 出发作 ∠α 和 ∠β,在 ∠β 的一条射线上取一点 D ,过 D 作 ∠β 的另一条射线的垂线,设垂足为 E。然后过 E 作∠α 的另一条射线的垂线,设垂足为 B。再延长 EB,作 CD ⊥ CE。

如果假设 AD = 1,那么在 △AED 中,AE = cosβ,DE = sinβ。先来证明第 1 个公式:在 △CDE 中,CE = sinβ cosα;在 △ABE 中,BE = cosβ sinα;在 △ADF 中,DF = sin ( α+β )。因为 DF = BC = BE + CE,所以 sin ( α+β ) = cosβ sinα + sinβ cosα。如果需要证明第 2 个式子,可将 -β 看作一个整体代入第 1 个式子。

然后我们用类似的办法证明第 3 个式子:在 △ABE 中,AB = cosβ cosα;在 △CDE 中,CD = sinβ sinα;在 △AFD 中,AF = cos( α+β ) 。因为 AF = AB – CD,所以 cos ( α+β ) = cos β cosα – sinβ sinα。同理,如果需要证明第 4 个式子,可将 -β 看作一个整体代入第 3 个式子。

不过这个两角和差的三角函数公式有什么用呢?敬请期待 烧脑几何题 142 的解题思路吧!

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万能三角函数公式

(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1

(2)1+(tanα)^2=(secα)^2

(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2

证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可

(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

设tan(A/2)=t

sinA=2t/(1+t^2) (A≠2kπ+π,k∈Z)

tanA=2t/(1-t^2) (A≠2kπ+π,k∈Z)

cosA=(1-t^2)/(1+t^2) (A≠2kπ+π k∈Z)

就是说sinA.tanA.cosA都可以用tan(A/2)来表示,当要求一串函数式最值的时候,就可以用万能公式,推导成只含有一个变量的函数,最值就很好求了.

三角万能公式有哪些



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